Marc Chemillier - Cours de Scheme

Scheme

Université de Caen - UFR de Sciences
Deug MIAS-MASS
Marc Chemillier

Scheme - TD n° 1
13 février 2002

Expressions numériques

Exercices : (1h1/2)

Traduire en Scheme :
1 + 2*(4 - 7/5)
cos²x + sin²x
racine(1 + racine(2 + racine(3 + x)))

Indiquer quelles sont les expressions correctes et leur résultat :

Welcome to DrScheme, version 101. 
Language: Graphical Full Scheme (MrEd).

> (+ -3 (- -3) (- 3)) 
-3

> (- (+ 1 2 (- 3 (+ 1 2)))) 
-3

> (- (+ 1 - (3 (+ 1 2)))) 
procedure application: expected procedure, given: 3; arguments were: 3

> (- (+ 1 - (+ 1 2))) 
+: expects type <number> as 2nd argument, given: #<primitive:->; other arguments were: 1 3

> (+ (sqrt (sqrt (- 20 4)))) 
2

> (- 20 (sqrt (sqrt (4)))) 
procedure application: expected procedure, given: 4 (no arguments)

> (+ 2 3 (sqrt 2 3 (- 2 3))) 
sqrt: expects 1 argument, given 3: 2 3 -1

Donner les réponses de Scheme :


> (define x 3)

> (+ x (* 2 x)) 
9

> (define x (* 2 x))

> (+ x (* 2 x)) 
18

> (define y (* 3 x))

> (define x (* 3 y))

> (+ x (* 2 x)) 
162

> (+ y (* 2 y)) 
54

> (let ((x y) (y x)) (+ x y)) 
72

Définir en Scheme les fonctions :
f(x) = racine(1 + racine(2 + racine(3 + x)))
g(x) = racine(1 + racine(2 + racine(3 + racine(4 + racine(5 + racine(6 + x))))))
Définir en Scheme la fonction :
f(x) = 1 + racine(3 + 7/x) + log(1 + racine(3 + 7/2x) - 4)

Avec machines : (1h1/2)

Calculer l'expression suivante pour x = 1, puis chercher x donnant la valeur la plus proche de pi :

$fraction 1$

Welcome to DrScheme, version 101. 
Language: Intermediate Student.
                          
> (define (f x y) (+ x (/ 1. y)))

> (define (approx x) (f 3 (f 7 (f 15 (f 1 x)))))

> (approx 1) 
#i3.141552511415525

> pi 
#i3.141592653589793

> (approx 292) 
#i3.1415926530119025

> (approx 293) 
#i3.141592653921421

Les décimales suivantes de pi étant 3.14159265358979, on peut continuer la construction précédente. Faire (suivant x) calculant 1/decimale(x), et utiliser suivant pour retrouver le développement de pi : 3, 7, 15, 1, 292, etc.

$fraction 2$

> (define (suivant x) (/ 1 (- x (truncate x))))

> (define x1 (suivant pi)) 
> x1 
#i7.062513305931052

> (define x2 (suivant x1)) 
> x2 
#i15.996594406684103

> e 
#i2.718281828459045

> (define z1 (suivant e)) 
> z1 
#i1.3922111911773332

> (define z2 (suivant z1)) 
> z2 
#i2.549646778303843

> (define z3 (suivant z2)) 
> z3 
#i1.8193502435980868

> (define z4 (suivant z3)) 
> z3 
#i1.8193502435980868

> (define z5 (suivant z4)) 
> z5 
#i4.535573476086956

> (f 2 (f 1 (f 2 (f 1 (f 1 4))))) 
#i2.71875

> e 
#i2.718281828459045

> (define n (/ (+ 1 (sqrt 5)) 2.)) 
> n 
#i1.618033988749895

> (define y1 (suivant n)) 
> y1 
#i1.6180339887498947

> (define y2 (suivant y1)) 
> y2 
#i1.6180339887498953

> (define y3 (suivant y2)) 
> y3 
#i1.6180339887498936

> (define y4 (suivant y3)) 
> y4 
#i1.6180339887498982

> (define y5 (suivant y4)) 
> y5 
#i1.618033988749886

> (define y6 (suivant y5)) 
> y6 
#i1.618033988749918

> (define y7 (suivant y6)) 
> y7 
#i1.6180339887498343

> (define y8 (suivant y7)) 
> y8 
#i1.6180339887500534

> (f 1 (f 1 (f 1 (f 1 (f 1 (f 1 (f 1 (f 1 (f 1 1))))))))) 
#i1.6181818181818182

> n 
#i1.618033988749895

Scheme