Projets d'informatique musicale
Licence-Maîtrise d'informatique - Université de Caen
Marc Chemillier

Contraintes d'harmonisation de choral

Exemples de midifiles générés :

Biblio : TSANG C.P., AITKEN M., « Harmonizing Music as a Discipline of Constraint Logic Programming », Proc. ICMC 91, Montréal, 1991, pp. 61-64.

Les quatre voix du choral sont représentées par un tableau de 4 lignes et n colonnes, contenant les variables x_ij (codes midi). On note D₁, D₂, D₃, D₄ respectivement les domaines des variables x_i1, x_i2, x_i3, x_i4. La ligne du haut x_i4 est instanciée (c'est la mélodie à harmoniser). Le problème est d'instancier les 3 autres lignes en respectant les contraintes ci-après. Les "notes de passage" peuvent ne pas être harmonisées (colonnes i = 2, 6 et 10).

x_i4 = 67 69 71    71    72 71 69    69    74 72 71    67    66    67

x_i3 = 62 62 62     64    64 64 64    69    67 67 67    64    62    62

x_i2 = 59 57 55    59    57 59 60    62    59 60 62    60    57    59

x_i1 = 43 42 43    43    45 43 45    54    55 52 55    48    50    55

A_ir_i = I Vb I    VIb    II VIb II    Vb    I IVb I    IV    V    I

On introduit deux séries de variables supplémentaires :

les "accords" A_i, qui sont des classes de quadruplets d'entiers (x_i1, x_i2, x_i3, x_i4) ayant mêmes restes modulo 12 : I = {7, 11, 2}, II = {9, 0, 4}, III = {11, 2, 6}, IV = {0, 4, 7}, V = {2, 6, 9}, VI = {4, 7, 11}, VII = {6, 9, 0}. Par exemple, la première colonne (43, 59, 62, 67) a pour restes modulo 12 (7, 11, 2, 7), donc correspond à l'accord A₁ = I.
les "renversements" r_i, qui sont des sous-classes des accords A_i telles que l'élément de la ligne du bas x_i1 modulo 12 soit respectivement le premier, le deuxième, ou le troisième reste. Le domaine des r_i est noté {vide, b, c}

Une contrainte générale sur (A_i, r_i) est de se limiter aux couples suivants : I, Ib, Ic, II, IIb, IV, IVb, IVc, V, Vb, VI, VIb, ou VIIb.

L'instanciation des variables doit respecter les 2 ensembles de contraintes suivants :

Les « régles harmoniques » qui définissent une transduction rationnelle calculant la séquence des A_ir_i à partir de la ligne x_1i. Ces règles concernent le premier accord et les trois derniers, ainsi que les enchaînement d'un accord au suivant.

Les « contraintes de sélection de notes » qui définissent une transduction rationnelle complétant le tableau des x_ij à partir de la séquence des A_ir_i. Ces règles portent sur l'enchaînement d'une colonne (x_i1, x_i2, x_i3, x_i4) à la suivante (x_i+11, x_i+12, x_i+13, x_i+14).

Règles harmoniques

Le premier accord choisi doit être un accord de tonique I
A la fin d'une phrase, une cadence doit être choisie
[En cas de plusieurs phrases, la dernière cadence choisie doit être parfaite ou plagale]
Le deuxième accord d'une cadence ne doit pas précéder celle-ci
Le premier accord d'une cadence ne doit pas précéder celle-ci
Pas deux accords consécutifs identiques
Pas d'enchainements II-I, VIIb-IV, V-IV, VIb-V
Pas de renversement c sauf à une cadence
*** S'il y a le choix entre les renversements vide et b, choisir b
Contraintes de sélection de notes
Les ambitus sont limités aux tessitures vocales
Pas de croisements
Les voix voisines doivent rester proches
*** Préférer le mouvement contraire entre basse et soprano
Pas de quintes, octaves, unissons consécutifs
Pas de mouvements mélodiques interdits dans les voix
***Si possible, le mouvement mélodique doit aller à la note la plus proche
Les notes communes entre deux accords consécutifs doivent rester en place
La sensible doit monter à la tonique
***La sus-tonique doit descendre à la tonique si possible
A l'état fondamental, doubler la basse, etc.

x_i4 =	67	69	71	71	72	71	69	69	74	72	71	67	66	67
x_i3 =	62	62	62	64	64	64	64	69	67	67	67	64	62	62
x_i2 =	59	57	55	59	57	59	60	62	59	60	62	60	57	59
x_i1 =	43	42	43	43	45	43	45	54	55	52	55	48	50	55
A_ir_i =	I	Vb	I	VIb	II	VIb	II	Vb	I	IVb	I	IV	V	I

Contraintes d'harmonisation de choral

Règles harmoniques

Contraintes de sélection de notes