Ethnomusicologie, ethnomathématique.
Les logiques sous-jacentes aux pratiques artistiques transmises oralement.

http://ehess.modelisationsavoirs.fr/marc/publi/diderot/index.html

Marc Chemillier

Forum Diderot, Société Mathématique Européenne - Ircam
3 décembre 1999


Transcription de l'exposé présenté au Forum Diderot.
Cette conférence est reprise dans mon livre
Les Mathématiques naturelles
(Paris, Odile Jacob, 2007).
Merci à Annick pour la réalisation multimédia.

Mon exposé est intitulé « Ethnomusicologie, ethnomathématique », car il aborde un domaine appelé ethnomathématique qui s'est développé depuis quelques années à l'intérieur de l'histoire des mathématiques, principalement aux Etats-Unis, et qui consiste à étudier certaines opérations ou raisonnements mathématiques, qu'on peut mettre en évidence dans les sociétés sans écriture. C'est une sorte d'extension nouvelle de l'anthropologie s'intéressant aux matériaux recueillis sur le terrain par les ethnologues, pour y repérer des choses qui ressemblent à des élaborations mathématiques, et pour les étudier. Mon propos est d'essayer de voir dans quelle mesure l'ethnomusicologie pourrait être un champ intéressant pour l'ethnomathématique. Plus précisément, les matériaux recueillis sur le terrain par les ethnomusicologues peuvent-ils nourrir la réflexion de ceux qui travaillent en ethnomathématique. Évidemment, cela concerne essentiellement les formes et les structures musicales, car ce sont ces aspects qui vont être privilégiés. On va se demander dans quelle mesure certaines formes musicales, certaines structures musicales présentent des propriétés remarquables, qui pourraient intéresser les ethnomathématiciens.

Parler de « mathématique » à propos d'activités pratiquées dans les sociétés sans écriture, cela revient à faire une hypothèse d'ordre cognitif, selon laquelle il y aurait quelque chose de commun entre ces activités et les mathématiques occidentales. Dans le bel exposé que Daniel Andler a présenté au cours de ce Forum Diderot, il nous a mis en garde contre certains pièges résultant de la confusion entre des notions comme savoir implicite et savoir explicite, chose produite et processus produisant cette chose, valeur d'une fonction et fonction elle-même, raisonnement délibéré et raisonnement automatique. La difficulté qui se pose aux ethnomathématiciens est d'établir un pont entre les propriétés formelles des objets qu'ils étudient et l'activité cognitive qui produit ces objets. En d'autres termes, les opérations ou raisonnements de type mathématique que l'on met en évidence résultent-ils d'une activité consciente de l'esprit ? La réponse à cette question est nécessaire pour déterminer à quel niveau cognitif on se situe. Dans les mathématiques elles-mêmes, il existe plusieurs niveaux allant du texte écrit formalisé publié dans les revues spécialisées, jusqu'à la simple rêverie dans laquelle les idées sont assemblées de manière presque « involontaire » (comme le reconnaissent les mathématiciens eux-mêmes). On verra dans les exemples ci-après qu'il est difficile de répondre à ces questions et que le problème reste largement ouvert.

Mon exposé est divisé en trois parties. Dans un premier temps, je vais prendre un exemple qui n'a pas de rapport avec la musique, car il concerne les dessins sur le sable du Vanuatu. Je l'ai choisi, car c'est un exemple emblématique des travaux qui sont faits en ethnomathématique. Les dessins sur le sable du Vanuatu figurent parmi les premiers exemples qui ont attiré la curiosité des ethnomathématiciens. C'est donc pour présenter leur démarche que j'analyserai ces exemples.

Ensuite, je prendrai deux exemples musicaux pour montrer comment la musique peut être un champ intéressant pour cette approche. Le premier concerne la musique de harpe nzakara sur laquelle j'ai travaillé avec Éric de Dampierre depuis une dizaine d'année, et dans laquelle précisément on peut mettre en évidence des propriétés combinatoires intéressantes.

Le dernier exemple traite des polyrythmies d'Afrique centrale, qui sont bien connues depuis les travaux de Simha Arom, en particulier en ce qui concerne les rythmes asymétriques. Je montrerai comment on peut se poser des questions intéressantes du point de vue combinatoire et mettre en évidence certaines propriétés.



  • Dessins sur le sable du Vanuatu

    tortue

    Pour commencer, je vous propose de partir au Vanuatu pour étudier les dessins sur le sable. Voilà un exemple de dessin sur le sable, dans lequel vous reconnaissez probablement la forme d'une tortue. C'est l'un des plus beaux et des plus connus parmi les dessins sur le sable pratiqués au Vanuatu. Vous voyez que cette technique consiste simplement à tracer un sillon sur du sable. C'est une des riches traditions artistiques des îles Vanuatu, qui forment un archipel au nord-est de la Nouvelle-Calédonie, indépendant depuis 1980 (ce sont les anciennes Nouvelles-Hébrides). Il y a plusieurs îles, et les dessins sur le sable ne sont pas pratiqués sur toutes les îles. Mais sur certaines d'entre elles, c'est une tradition très riche avec de nombreuses formes travaillées et intéressantes.

    gedeon

    Voilà quelqu'un en train de réaliser un dessin. La technique utilise tout simplement l'index avec lequel on trace un sillon pour réaliser ces formes. Ces photos ainsi que les autres illustrations Vanuatu de mon exposé sont extraites soit du catalogue de l'exposition sur les arts du Vanuatu organisée par le Musée des Arts d'Afrique et d'Océanie en 1997, soit d'un petit livre de Jean-Pierre Cabane consacré aux dessins sur le sable. Cette partie de mon exposé a été présentée lors d'une conférence-concert au Musée pendant l'exposition, à l'initiative du compositeur Tom Johnson qui avait composé à cette occasion une pièce d'après le tracé de la tortue (http://www.info.unicaen.fr/~marc/publi/vanuatu/ephemere.html).

    Une chose intéressante dans cette pratique est le fait que les dessins sur le sable sont associés à la récitation de mythes. Le plus souvent, les dessins sur le sable sont pratiqués au moment où on récite un mythe, dont ils sont en quelque sorte le support, c'est-à-dire qu'on trace le dessin, et le mythe se présente comme un commentaire du dessin sur le sable. Il y a un dessin sur le sable intéressant associé à un mythe, qui va nous montrer que certaines propriétés purement mathématiques, en l'occurrence topologiques, de ces dessins correspondent directement à certains éléments de la mythologie.

    mort-1

    Ce dessin-là est celui que fait la gardienne du monde des esprits quand un nouveau défunt se présente pour accéder au territoire des ancêtres. La gardienne du monde des esprits lui fait passer une épreuve en traçant le dessin qui est là. Vous voyez qu'il y a une armature rectangulaire, avec un quadrillage qui ne fait pas partie du dessin, mais qui sert simplement à le délimiter. Le dessin est constitué par les formes arrondies que vous voyez dans la partie supérieure. Cette partie est tracée par la gardienne du monde des esprits. Pour pouvoir retrouver ses ancêtres, le défunt doit être capable de compléter ce dessin.

    mort animé

    Voilà ce que ça donne lorsque le dessin est complété. La partie tracée par la gardienne du monde des esprits est fixe, et l'animation vous montre ce que le défunt doit réaliser pour accéder au territoire des ancêtres. Voilà ce qu'on obtient lorsque l'épreuve est surmontée.

    mort-2

    Ce qui est intéressant dans ce mythe, et cette relation au dessin, c'est que le tracé proprement dit fait partie intégrante du mythe. La difficulté à tracer le dessin est prise en compte directement dans le mythe, puisque c'est en cela précisément que consiste l'épreuve que doit réussir le défunt pour accéder au territoire des ancêtres.

    Il y a d'autres dessins et d'autres mythes qui se réfèrent directement au fait de tracer le dessin, et à la manière de le tracer. L'un d'eux s'appelle « Le fruit de l'arbre à pain » dans lequel il est dit explicitement que les dessins de ce type-là doivent être tracés par une ligne continue, sans lever le doigt, et sans repasser sur un tronçon déjà tracé. C'est d'ailleurs ce qui fait la difficulté de l'épreuve à surmonter pour le passage dans le territoire des morts.

    fruit a pain

    Dans le dessin du fruit de l'arbre à pain, on commence par dessiner le fruit complet, en respectant la règle. Puis on repasse sur certains segments, ce qui revient à transgresser la règle, et on efface la partie inférieure du dessin délimitée par ces segments. On dit alors que le rat a « mangé » le fruit de l'arbre à pain. Il y a d'autres exemples qui confirment cette donnée-là. La manière de tracer le dessin, et les difficultés qu'on peut éventuellement rencontrer, sont donc directement prises en compte dans la mythologie Vanuatu.

    Quelles sont ces difficultés ? En quoi cela peut éventuellement poser des problèmes de tracer un dessin sur le sable avec une ligne continue ? En quoi cela peut conduire à des propriétés ou des opérations mathématiques, à la mise en évidence d'algorithmes de construction, etc. ?

    Avant de rentrer plus en détails dans les propriétés formelles, il faut dire une chose importante. La connaissance de ces dessins sur le sable du Vanuatu doit considérablement aux travaux d'un jeune anthropologue, Bernard Deacon, qui était parti aux îles Vanuatu dans les années 30, à l'âge de 22 ans, pour y séjourner pendant deux ans. Il y a fait un travail considérable, en particulier concernant le système de parenté. Malheureusement il est mort sur le bateau du retour, et on ne connaît ses travaux que par les notes qu'on a retrouvées dans ses bagages. Il a noté de nombreux dessins, mais ne s'est pas contenté de la forme de ces dessins.

    tortue Deacon

    Vous voyez sur ce dessin de Deacon la forme de la tortue qu'on a vue en photo tout à l'heure. Ce qui est proprement génial dans le travail de Deacon, c'est qu'il a aussi noté l'ordre dans lequel sont tracées ces figures. Il l'a fait en numérotant les différents éléments de la figure. C'est extrèmement intéressant, parce que ça donne un matériau de première importance pour ceux qui s'intéressent aux propriétés de ces figures, aux difficultés qu'on peut rencontrer éventuellement pour les tracer avec une ligne continue. Voilà d'après la numérotation de Deacon le déroulement obtenu en reconstituant le tracé sous forme d'animation.

    tortue animee

    Il y a une certaine régularité dans ce tracé. En fait, il y a une méthode de construction qu'on peut essayer d'expliciter, et dont on peut essayer de dégager les propriétés formelles, en termes de symétries, de répétitions de motifs, et de généralité de la méthode quand on la compare à d'autres dessins similaires.

    Les relevés de ces dessins sur le sable effectués par Deacon sont donc un exemple de collecte ethnographique qui a fourni un matériau de première importance pour les travaux des ethnomathématiciens. Je ne vais pas aller plus loin dans l'analyse formelle de ces dessins, mais je voudrais montrer un exemple, que je crois assez parlant, du type de propriétés auxquelles on peut s'intéresser à partir de ces dessins.

    
    

    Cela va nous amener à faire un petit détour par une autre région du monde, l'Angola, où il y a également une tradition très intéressante de dessins sur le sable. Elle nous intéresse d'autant plus que ces dessins sur le sable ont fait l'objet d'un livre d'un mathématicien du Mozambique, Paulus Gerdes, paru récemment chez L'Harmattan qui s'intitule Dessins sur le sable. Une tradition géométrique en Afrique, et qui précisément recense tous les dessins sur le sable de la région, en étudiant leurs propriétés. Comme pour les dessins du Vanuatu, ces dessins doivent être faits avec une ligne continue, sans jamais quitter la surface de sable. Regardez ce qui se passe sur le dessin ci-après. On trouve des dessins similaires en Angola, mais on ne trouve pas exactement celui-là, et vous allez comprendre pourquoi. Regardez ce qui se passe quand on essaie de le tracer.

    angola animé partiel

    Vous voyez que si on essaie de tracer le dessin sans jamais lever le doigt, on s'aperçoit qu'à un certain moment, on revient au point de départ, sans avoir pu recouvrir la totalité de la figure. Cela est dû au nombre de lignes et de colonnes de ce dessin, dont la forme assez géométrique rappelle un peu une sorte de grillage. A cause du nombre de lignes et de colonnes de ce grillage, on ne peut pas le tracer avec une ligne continue, ce qui explique pourquoi on ne le trouve pas en Angola. On trouve des dessins avec d'autres valeurs pour les nombres de lignes et de colonnes, qui eux, peuvent être tracés avec une ligne continue. Mais il y a une autre chose qui est plus intéressante, c'est que si on ne trouve pas ce dessin, on trouve en revanche un dessin dérivé de celui-là par une construction géométrique conservant les nombres de lignes et de colonnes. Il existe en effet une sorte de transformation que les gens appliquent à cette figure pour obtenir une autre figure, selon le principe que voici.

    angola algo

    On choisit une colonne, et on remplace les croisillons par des arcs de cercle, pour tous les éléments de la colonne. Une fois qu'on a appliqué cette transformation, regardez ce qui se passe maintenant si dans la nouvelle figure on essaie de nouveau d'effectuer le tracé avec une ligne continue.

    angola animé complet

    Vous voyez que l'on peut remplir intégralement la figure, bien que les nombres de lignes et de colonnes restent les mêmes. Dans le livre de Paulus Gerdes auquel je faisais allusion, celui-ci présente cette transformation comme un véritable « algorithme », c'est-à-dire une technique de construction géométrique que les artistes angolais ont mis au point pour transformer les dessins qui n'avaient pas la propriété d'être taçables avec une ligne continue, en dessins pouvant être tracés avec une ligne continue.

    Il y a quelque chose de curieux dans ce rapprochement entre le Vanuatu et l'Angola, c'est que parmi les dessins relevés par Deacon au Vanuatu (il y en a environ une centaine), on trouve le dessin suivant.

    d14-nid.jpg
    
    
    Ce dessin-là existe au Vanuatu ! Vous voyez que c'est exactement la même forme que le dessin angolais. Ce qui est amusant chez les Vanuatu, c'est que le dessin a un nom, il s'appelle « L'oiseau dans son nid », car il représente un oiseau en train de couver ses oeufs. Les oeufs sont justement les formes arrondies qui ont permis d'effectuer la transformation sur le dessin. A gauche, c'est la tête de l'oiseau. Celui-ci est étalé au-dessus de ses oeufs. Et on rajoute à droite des petits éléments qui représentent les plumes de l'oiseau.

    Je vais m'arrêter là pour cette partie concernant les dessins. Le but était de présenter des travaux classiques illustrant la démarche des ethnomathématiciens. La question maintenant est de savoir si la musique peut fournir un matériau intéressant pour ce type d'approche, qui consiste à mettre en évidence des opérations formelles, plus ou moins explicitement mises en oeuvre par les populations concernées Quand je dis « plus ou moins explicitement », on touche à un point crucial, car dans la caractérisation de ces « mathématiques » que l'on s'efforce de mettre en évidence, il est essentiel de déterminer à quel niveau de cognition se situent les opérations que l'on décrit. Vous voyez qu'au sujet de l'algorithme angolais, on ne dispose pas d'éléments indiquant que son utilisation est délibérée. Par contre concernant le fait que les dessins du Vanuatu doivent être réalisés avec une ligne continue, c'est-à-dire que leur tracé doit être ce que les mathématiciens appellent un « chemin eulérien » dans un graphe, on a des éléments explicites dans les mythes dont j'ai parlé tout à l'heure.


    Dessins Vanuatu  /  Harpe Nzakara  /  Rythmes pygmées Aka
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